mercoledì 20 settembre 2017

234. GPS


La teoria della Relatività Generale di Albert Einstein nasce come teoria unificante la Relatività Ristretta e la Teoria della Gravitazione Universale di Isaac Newton: le due teorie sono infatti incompatibili. Nella Relatività Generale, lo spazio-tempo di Minkowski è solo un modello che approssima localmente lo spazio-tempo, che è in realtà "distorto" dalla massa. E quando si parla di spazio-tempo, si intende che questi 2 concetti sono ormai intrinsecamente legati. Non esistono più spazio e tempo assoluti, con tutto quello che ne consegue.

La teoria della Relatività Generale implica che il tempo rallenti in presenza di un campo gravitazionale. Mentre la teoria della Relatività Speciale prevede che le misure di intervalli temporali e di lunghezze spaziali effettuate da osservatori inerziali non corrispondano necessariamente fra loro, dando luogo a fenomeni come la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze.

Gli effetti della Relatività Generale sono più rilevanti vicino alla superficie terrestre rispetto a quelli su un satellite orbitante intorno alla Terra. Anche la velocità del satellite deve essere maggiore dove l'altezza dell’orbita è più bassa, in modo che la forza centrifuga possa annullare l'attrazione gravitazionale più forte, per cui anche la Relatività Speciale fornirà un maggior contributo. Quando l'altezza aumenta, entrambi gli effetti diminuiscono in modo non lineare secondo il fattore di Lorentz (Relatività Speciale) e seguendo la soluzione di Schwarzschild delle equazioni del campo di Einstein (Relatività Generale). Ma i due effetti sono opposti, quindi c'è un'altezza (circa 3.200 km sopra il livello del mare) dove questi si annullano; un orologio posizionato sul satellite è visto funzionare correttamente in questo punto quando osservato dalla superficie terrestre. Un sistema satellitare GPS (Global Positioning System) è un esempio e una prova pratica di entrambe le teorie di Einstein. I ricevitori GPS sono posizionati ad un’altezza di 20.000 km circa e compiono 2 orbite al giorno. Vengono costruiti per ricevere sulla Terra un segnale a 10,23 MHz, ma i satelliti GPS devono trasmettere sulla frequenza 10.22999999543 MHz per annullare gli effetti relativistici. L'effetto (una differenza di tempo di circa 38 μs/giorno) è apparentemente insignificante, ma deve essere preso in considerazione o ci sarebbe un errore nel posizionamento di 11,5 km/giorno.
Nel grafico, gli errori sono contrassegnati alle altezze approssimative della Stazione Spaziale Internazionale (ISS), dei satelliti GPS (GPS) e dei satelliti geostazionari (GEO).

 


Jakub Serych "Relativistic Effects on Satellite Clock as Seen from Earth"
Wolfram Demonstrations Project, Published: May 10, 2013 http://demonstrations.wolfram.com/RelativisticEffectsOnSatelliteClockAsSeenFromEarth/

Ciò che sorprende, è che in 100 anni si ha un rallentamento relativo di 1,4 secondi, ma, per ottenere un’accuratezza nella navigazione di 15 metri, la corrispondente accuratezza del tempo del GPS deve essere di 50 nanosecondi, che equivale al tempo richiesto alla luce per percorrere 15 metri. In altre parole, senza tener conto della Relatività, il GPS non riuscirebbe a rimanere entro le specifiche dichiarate in appena 2 minuti.

 





https://physics.stackexchange.com/questions/96478/time-dilation-in-orbits-in-the-schwarzschild-metric

giovedì 24 agosto 2017

233. Eclissi e ISS


Un'eclissi totale di Sole ha attraversato una stretta porzione degli Stati Uniti lunedì 21 agosto: da Lincoln Beach in Oregon a Charleston nella Carolina del Sud.


L’eclissi solare parziale è stata comunque visibile in tutto il continente nordamericano.




Ci sono occasioni che possono capitare una sola volta nella vita, e il fotografo della NASA Joel Kowsky ne ha avuta una, riuscendo a catturare, vicino a Banner nel Wyoming, una spettacolare immagine (composta da 7 fotogrammi) che mostra la Stazione Spaziale Internazionale (ISS) mentre transita davanti al Sole a 7,66 km/s (circa 27.600 km/h) durante l'eclissi parziale.


A bordo, come parte di “Expedition 52”, è presente un equipaggio di 6 persone: gli astronauti della NASA Peggy Whitson, Jack Fischer e Randy Bresnik; i russi Fyodor Yurchikhin e Sergey Ryazanskiy della RKA e l'astronauta Paolo Nespoli dell'ESA (Agenzia Spaziale Europea).

Il diametro angolare del Sole è di 32’ (0,53 gradi), mentre ISS ha un periodo orbitale di 92,7 minuti e se vi dovesse capitare di osservarla, vi potreste rendere conto di cosa significhi viaggiare a più di 22 volte la velocità del suono (o circa 30 volte quella di un aereo di linea).



Con un semplice calcolo si ottiene che la velocità angolare di ISS è circa 0.0647 gradi/sec (3,9’/sec) e quindi occorrono 8,24 secondi per spostarsi da una parte all’altra del Sole.
Un'orbita geostazionaria (in inglese: Geostationary Earth Orbit o GEO) è un'orbita circolare ed equatoriale, situata ad un’altezza tale che il periodo di rivoluzione di un satellite che la percorre coincide con il periodo di rotazione della Terra. È un caso particolare di orbita geosincrona. Si dice orbita geosincrona una qualsiasi orbita sincrona attorno alla Terra, potenzialmente utilizzabile da satelliti artificiali. I satelliti in orbita geosincrona sono caratterizzati da un periodo orbitale pari al giorno siderale terrestre. È importante osservare che questi satelliti non mantengono sempre necessariamente la medesima posizione nel cielo della Terra.

Dovendo pensare ad un film di fantascienza, il primo che mi viene in mente è “2001: Odissea nello spazio”. Il film di Stanley Kubrick del 1968, basato su un soggetto di Arthur C. Clarke, il quale ha poi tratto dalla sceneggiatura un romanzo dal titolo omonimo. Non credo che sia il caso di spendere molte parole che sarebbero probabilmente fuori luogo; preferisco riportare quanto detto dallo stesso regista: “Ognuno è libero di speculare a suo gusto sul significato filosofico del film, io ho tentato di rappresentare un'esperienza visiva, che aggiri la comprensione per penetrare con il suo contenuto emotivo direttamente nell'inconscio.”





La previsione più famosa di Sir Arthur C. Clarke sul futuro è la sua proposta di utilizzare satelliti geostazionari per le telecomunicazioni, pubblicata nella rivista Wireless World nel 1945. Non considerata seriamente all’inizio, è poi diventata realtà 20 anni dopo con il lancio del 6 aprile 1965 di Intelsat-Early Bird, il primo satellite geostazionario commerciale di comunicazione.

Un satellite posizionato in un'orbita circolare equatoriale ad una distanza di circa 42.164 km dal centro della Terra (35.787 km sopra il livello del mare) con un periodo pari alla rotazione della Terra sul suo asse (Giorno Siderale = 23h 56m), rimane geostazionario sullo stesso punto sull'equatore della Terra. Nel 2002 la Clarke Orbit aveva oltre 300 satelliti. Il primo riferimento ai satelliti geostazionari è contenuto nell’articolo di Clarke (inviato all'editore nel 1945) intitolato “Peacetime Uses for V2” pubblicato nel numero di Wireless World.

Arthur C. Clarke nella sua autobiografia scientifica “Ascent to Orbit”, pubblicata nel 1984, afferma di aver dimenticato questa lettera fino a quando glielo è stato ricordato dal personale ingegneristico della Sri Lanka Broadcasting Corporation nel 1968.
In tabella vengono riportate le velocità di satelliti in orbita ad una distanza R dal centro della Terra.
 

 
Raggio (km)
m/s
km/h
ISS
6,785
7,661
27,579
Satelliti Geostazionari
42,168
3,073
11,063
Luna
384,000
1,018
3,666

 

L’idea di Clarke era di utilizzare i satelliti artificiali nello spazio in modo che servissero da ripetitori.




 
         

 












martedì 25 luglio 2017

232. 1642 e 1879


Gli anni 1642 e 1879 hanno una cosa in comune inerente la storia della Fisica.

Gli anni 1492 o il 1789 (scoperta dell’America e rivoluzione francese), sono certamente più noti e potrebbero essere confusi con i precedenti, ma io intendo proprio i 2 anni del titolo, e, per inquadrarne meglio il contesto storico, comincerò con il racconto di alcuni eventi accaduti in questi 2 anni.

Il 13 giugno 1642 a Milano un terremoto fece crollare il campanile di S. Stefano e nel crollo del campanile vengono distrutte anche la vicina chiesa di S. Bernardino con l'annesso ossario. La chiesa venne ricostruita dal Buzzi negli anni successivi. Nei miei ricordi di bambino, rimangono impresse le visite e le macabre visioni delle pareti interne dell'edificio, a pianta quadrata, ricoperte di teschi ed ossa che si trovavano nell'antico ossario, disposte nelle nicchie, sul cornicione e sui pilastri. Questo senso macabro si fonde elegantemente con la grazia del rococò.


Nel 1642 venne inventata la Pascalina o calcolatore meccanico, da parte del matematico francese Blaise Pascal. Aveva inizio la Guerra Civile Inglese ed era in corso la Guerra dei trent’anni.

Nel 1879 l’americano Thomas Alva Edison migliorò la lampadina inventata l’anno precedente da Joseph Wilson Swan, costituita da uno spesso filamento di carbonio che, riscaldandosi, emetteva luce e gas. Edison brevettò una lampadina con un filamento sottile e ad alta resistenza elettrica. Tra i due inventori, nacque una disputa sulla paternità dell'invenzione. La contesa finì anni dopo con la creazione della società Edison-Swan che divenne una delle più grandi produttrici mondiali di lampadine. Nel 1910 il fisico americano William David Coolidge sostituì il filamento di carbonio con uno di tungsteno immerso in un gas, realizzando in questo modo una lampadina che durava molto di più e che, quasi inalterata, è arrivata fino ai giorni nostri. Nello stesso anno, in Arizona, davano la caccia a Billy the Kid.
Ma, in sintonia con gli argomenti trattati in questo blog, gli anni 1642 e 1879 hanno in comune il passaggio del testimone tra 2 coppie dei maggiori fisici mai esistiti:

 

Galileo Galilei           (15 febbraio 1564 – 8 gennaio 1642)

Isaac Newton          (25 dicembre 1642 – 20 marzo 1727)

 

James Clerk Maxwell        (13 giugno 1831 – 5 novembre 1879)

Albert Einstein                    (14 marzo 1879 – 18 aprile 1955)

 

I volti di Galilei, Newton e Einstein, credo che siano molto noti, mentre non tutti avranno presente una foto di Maxwell, che potete però facilmente trovare in Wikipedia:

Il giovane Maxwell durante il periodo universitario al Trinity College di Cambridge



Nella sua breve vita, Maxwell produsse diversi importanti lavori, il più famoso dei quali è probabilmente quello legato all'elettromagnetismo. Il fisico scozzese unificò i lavori sull'elettricità e il magnetismo di Carl Friedrich Gauss, Michael Faraday, André-Marie Ampere e di molti altri in una serie di 20 equazioni differenziali, che furono successivamente ridotte a 4. Note come equazioni di Maxwell, tali equazioni furono presentate alla Royal Society nel 1864; insieme descrivono il campo elettrico e quello magnetico, e le loro interazioni con la materia.

Le equazioni prevedono l'esistenza di onde elettromagnetiche, ossia di oscillazioni del campo elettromagnetico. Maxwell cercò, sulla base dei dati disponibili all'epoca, di misurare sperimentalmente la velocità di queste onde, ottenendo il risultato di 310.740.000 m/s. Nel 1865 scriveva: «Questa velocità è così vicina a quella della luce che ho ragione di supporre che la luce stessa sia un'onda elettromagnetica»

Maxwell era nel giusto e la successiva scoperta sperimentale delle onde elettromagnetiche per opera di Hertz fu uno dei trionfi assoluti della Fisica dell’ottocento. Come detto più sopra, quando Maxwell elaborò la teoria dell’elettromagnetismo, descrisse il comportamento di campi elettrici e magnetici non con 4, ma con 20 equazioni:
Le prime 6 equazioni erano suddivise nelle loro 3 componenti Cartesiane.

Furono Oliver Heaviside in Gran Bretagna e Heinrich Rudolf Hertz in Germania che semplificarono le equazioni di Maxwell nei 2 decenni successivi alla sua morte.








 

Quaternioni

Seguendo un percorso completamente diverso, nel 1843 William Rowan Hamilton introdusse i quaternioni, entità pensate originariamente per rappresentare le rotazioni in 3 dimensioni in analogia con la rappresentazione delle rotazioni in 2 dimensioni per mezzo dei numeri complessi. Tre anni dopo, nel 1846, Hamilton pubblicò un articolo in cui introduceva i termini di scalare e vettoriale per riferirsi a parte reale e immaginaria dei quarternioni. Dal 1865 al 1880 i quaternioni cominciarono ad affermarsi nel mondo scientifico, mentre l’opera di Hermann Gunther Grassmann passava sostanzialmente sotto silenzio. Nel 1873 James Clerk Maxwell pubblicò il suo Treatise on electricity and magnetism, opera fondamentale per l’elettromagnetismo. Benché durante il suo lavoro Maxwell non avesse mai fatto uso dei quaternioni, questi erano ormai molto diffusi, perciò decise di presentare molti dei suoi risultati in questa forma oltre a quella cartesiana. Nel 1877, William Kingdon Clifford pubblicò il suo Elements of Dynamic, un trattato di meccanica. Al capitolo intitolato ‘Prodotti di due vettori’, Clifford definisce le operazioni di ‘prodotto vettore’ e ‘prodotto scalare’, combinando in pratica le diverse impostazioni di Hamilton e di Grassmann (Clifford fu uno dei pochi matematici del tempo a conoscere entrambi i metodi). Sebbene Clifford resti ancora legato ai quaternioni, nel suo lavoro il prodotto tra queste entità viene scisso del tutto in due parti, ognuna delle quali viene trattata come un prodotto separato. Nel 1881, Josiah Willard Gibbs terminò la stesura della prima metà dei suoi Elements of Vector Analysis, ad uso degli studenti, in cui esponeva quello che è essenzialmente il moderno sistema di analisi vettoriale; la seconda parte verrà stampata nel 1884. In una lettera a Schlegel del 1888, Gibbs afferma di aver sviluppato la nuova teoria a seguito della lettura del Treatise on electricity and magnetism di Maxwell, dove i quaternioni erano largamente utilizzati.
Tratto dalla Tesi di Laurea di: Carlo Andrea GONANO – “Estensione in N-Dimensioni di prodotto vettore e rotore e loro applicazioni”




I quaternioni sono entità introdotte come estensioni dei numeri complessi.

Un quaternione è un elemento scrivibile come:


a + b i + c j + d k

con a, b, c  e  d   numeri reali ed  i, j, k  simboli letterali.
Il prodotto di 2 quaternioni è definito tenendo conto delle relazioni:

i2  =   j2  =  k2  =  i j k =  − 1,

che implicano in particolare le relazioni seguenti:

i j   =   k
j k  =   i
k i  =   j
j i   =  − k
k j  =  − i
i k  =  − j
 

















Per finire consiglio un libro di recente pubblicazione:



domenica 18 giugno 2017

231. Lancette allineate


Il giorno siderale (o sidereo) è il tempo che intercorre tra due passaggi consecutivi della medesima stella al meridiano di un determinato luogo terrestre e ha una durata di 23 ore, 56 minuti e 4,0905 secondi. Esso è il periodo del moto diurno di rotazione della sfera celeste, nonché del moto di rotazione della Terra rispetto alla posizione media delle stelle visibili.
Gli altri quasi 3 minuti e 56 secondi che mancano alle 24 ore del giorno solare medio (che rappresenta la media aritmetica di tutti i giorni solari di un anno) sono necessari per raggiungere il Sole, che nel frattempo si è mosso rispetto alle stelle fisse.

Ebbene, se dividete la durata del giorno siderale per il tempo che manca alle 24 ore, ottenete 365,2421394645... che corrisponde al numero di giorni che ci sono in un anno solare. Riassumo i vari conti in tabella:


Come noto, per convenzione gli anni sono formati da un numero intero di giorni: 365 o 366 se bisestili. La parte decimale (0,2421394645...) di giorni nell'anno solare determina quanti anni bisestili si devono predisporre. Per chiarire meglio, se tutti gli anni fossero di 365 giorni, ogni 4 anni avanzerebbe circa un giorno; questo si risolve ponendo un anno bisestile ogni 4. Ma visto che l’avanzo è un po’ meno di 1 giorno, il primo anno di ogni secolo si salta l’anno bisestile, e infine, siccome avanza ancora un pochino, ogni 4 secoli l’ultima regola non vale. Per cui è stato bisestile l’anno 2000, ma non lo saranno gli anni 2100, 2200 e 2300.


Una cosa analoga avviene con le lancette di un orologio. Se si considera solo la lancetta dei minuti, questa ritorna alla posizione di partenza dopo un’ora esatta, ma se invece ci chiediamo ogni quanto le 2 lancette si sovrappongono, il calcolo non è così immediato.


Ci sono diversi modi per risolvere il problema. Quello più semplice è notare che, per esempio, se si parte da mezzogiorno, la prima volta le lancette saranno sovrapposte poco dopo la 1 e 5 minuti, poi dopo le 2:10, ecc. Ad ogni ora si posticipa di almeno 5 minuti e come risultato si ottiene che in 12 ore si hanno solo 11 sovrapposizioni.

Lista degli orari delle 11 sovrapposizioni in 12 ore (esclusa quella alla partenza):

 01:05:27

 02:10:55

 03:16:22

 04:21:49

 05:27:16

 06:32:44

 07:38:11

 08:43:38

 09:49:05

 10:54:33

 12:00:00

Primi 4 allineamenti










Riassumendo. Le lancette delle ore e dei minuti si allineano esattamente 11 volte ogni 12 ore. In 12 ore ci sono 12 ore  x  60 min/ora  x  60 sec/min  =  43.200 secondi. Da cui si ricava: 43.200/11 = 3.927,2727 sec, che equivalgono a 1 ora, 5 minuti e 27,2727 secondi.






 

domenica 7 maggio 2017

230. Vite parallele: Escher - Penrose


Le Vite parallele di Plutarco sono una serie di biografie di uomini celebri scritte sulla fine del I secolo d.C. e riunite in coppie per mostrare vizi o virtù morali comuni ad entrambi e consistono di ventidue coppie di biografie, di norma narranti le vite di un uomo greco e di uno romano. Il “parallelo” con il titolo di questo post finisce qui; infatti le vite a cui si fa riferimento, sono di 2 persone nate e scomparse a pochi giorni di distanza l’uno dall’altro. Il comune interesse per le “Strutture Paradossali”, li accomunò verso la fine degli anni ’50, anche se con motivazioni differenti: psicologiche, grafiche o matematiche.

Lionel Sharples Penrose è stato uno psichiatra e genetista britannico.
     11 giugno 1898, Londra            -   12 maggio 1972, Londra, Regno Unito

Maurits Cornelis Escher è stato un incisore e grafico olandese.
     17 giugno 1898, Leeuwarden   -   27 marzo 1972, Laren, Paesi Bassi






I contatti di Escher con la comunità scientifica, in particolare quelli che seguirono il suo intervento allo Stedelijk Museum di Amsterdam nel settembre 1954 durante il Congresso Internazionale dei Matematici, giocarono un ruolo importante nella sua progressione verso la rappresentazione di mondi impossibili.

Oltre all'incontro con il matematico canadese H.S.M. Coxeter, questa mostra portò ad un fruttuoso scambio di idee con Roger Penrose, che frequentava la conferenza come studente e fu molto impressionato da quanto esposto da Escher. Opere come Relativity (1953) esercitarono un'influenza determinante sullo sviluppo di figure che possono essere disegnati ma non possono esistere in 3 dimensioni.






Roger Penrose inviò a Escher "Oggetti impossibili: uno speciale tipo di Visual Illusion", un articolo da lui pubblicato con il padre, L.S. Penrose, nel British Journal of Psychology, nel febbraio 1958, che rendeva omaggio ai lavori di Escher.

Escher fu colpito da 2 illustrazioni che accompagnavano la discussione di oggetti impossibili: una rampa di scale che portano verso il basso e verso l'alto, allo stesso tempo e un triangolo impossibile. Ispirato dalle illustrazioni dei Penrose, Escher realizzò 2 famose litografie, Salire e Scendere (1960) e Cascata (1961).






Salire e scendere, Marzo 1960, litografia 285 x 355

L’illusione dei monaci che salgono e scendono in continuazione lungo una scala, forma un percorso chiuso basato su una costruzione paradossale che Escher trovò in un articolo di L.S. Penrose.


Salire e scendere





Cascata, Novembre 1961, litografia 300 x 380

L’acqua della cascata della cascata che mette in moto la ruota del mulino scorre lungo un canale tra 2 torri sino a quando raggiunge un punto in cui cade di nuovo. L’illusione è basata sul triangolo proposto da Roger Penrose, figlio dell’inventore della “scala continua” (Salire e scendere).

Cascata



































Qui di seguito, la lettera inviata da M.C. Escher a L.S. Penrose nel 1961. La litografia a cui fa riferimento Escher è proprio Cascata.